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L'mwbqalgebra (dall'mwbgarabo الجبر, mwbwal-ǧabr, 'completamento'cite-ref-1[1]) è una branca della mwdamatematica che tratta lo studio di sistemi astratti noti come mwdqstrutture algebriche e della manipolazione delle mwdgespressioni interne a quei sistemi. In particolare, gran parte dell'algebra si concentra sullo studio dei mwdwsistemi numerici, le mweafunzioni polinomiali, e strutture astratte come mweqgruppi, mwegcampi, mwewspazi vettoriali, e anelli. Risulta una generalizzazione dell'mwfqaritmetica che introduce mwfgvariabili e operazioni algebriche diverse da quelle fondamentali quali l'mwgaaddizione e la mwgqmoltiplicazione. L'mwggalgebra elementare è la forma principale di algebra insegnata nelle scuole. Studia le proposizioni matematiche attraverso l'utilizzo di variabili per valori incogniti e cerca di determinare per quali valori queste proposizioni sono vere. A tale scopo, utilizza vari metodi di trasformazione delle equazioni per isolare le variabili. L'mwgwalgebra lineare è un'altra branca molto legata che studia le mwhaequazione lineari e i loro mwhqsistemi, fornendo metodi per trovare quei valori che risolvono tutte le equazioni del sistema contemporaneamente e per studiare l'insieme di queste soluzioni. L'algebra ha varie applicazioni in ampie aree del sapere. Tra di esse figurano la mwhgteoria dei numeri, la mwhwgeometria, e la mwiafisica matematica.

• Storia dell'algebra

• Algebra retorica

• Algebra sincopata

• Algebra simbolica

• Concetti dell'algebra

• Numeri

• Operazioni

• Costanti e variabili

• Equazioni

• Polinomi

• Numeri algebrici e trascendenti

• Strutture algebriche

• Settori dell'algebra

• Algebra elementare

• Algebra astratta

• Altri usi

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il termine algebra (dall'arabo الجبر, mwkwal-ǧabr che significa "unione", "connessione" o "completamento", ma anche "aggiustare" o "ricomporre") deriva dal libro del matematico mwlapersiano mwlqMuḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī, intitolato mwlgAl-kitāb al-muḫtaṣar fī ḥīsāb al-ǧabr wa l-muqābala ("Compendio sul calcolo per completamento e bilanciamento"), conosciuto anche nella forma breve mwlwAl-kitāb al-ǧabr wa l-muqābala, che tratta la risoluzione delle mwmaequazioni di primo e mwmqdi secondo grado.

I primi rudimenti di algebra simbolica appaiono con Diofanto di Alessandria (III sec d.C. ca.), da cui gli altri attinsero.cite-ref-2[2]

Ci sono anche alcune testimonianze su problemi algebrici semplici dell'mwoaAntico Egitto, della mwoqGrecia arcaica e della mwogMesopotamia, di matematici che fecero uso di proprietà attinenti all'algebra elementare.

Algebra totalmente priva di simboli, i passaggi sono descritti a parole, secondo la tradizione di Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī.

Algebra descrittiva, ma con notazioni simboliche, come quella usata dal greco mwpwDiofanto di Alessandria.

Algebra in cui i concetti sono rappresentati in simboli, utilizzata oggi in tutto il mondo è nata nell'antica India e poi sviluppata nel mwqgXVI secolo dai matematici europei.

Un mwrwnumero è un oggetto astratto, usato per misurare una mwsaquantità. I numeri più utilizzati sono i mwsqnumeri naturali:

mwta 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 … … {\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6\ldots }

Aggiungendo a questi i mwtgnumeri negativi, tramite il mwtwsegno meno, si ottengono tutti i mwuanumeri interi:

mwuw … … , − − 3 , − − 2 , − − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … … {\displaystyle \ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots }

Aggiungendo a questi le mwvqfrazioni si ottengono tutti i mwvgnumeri razionali:

mwwq − − 6 , − − 3 2 , 27 4 , … … {\displaystyle -6,-{\frac {3}{2}},{\frac {27}{4}},\ldots \,\!}

Infine, i mwwwnumeri reali contengono molti altri numeri che non possono essere espressi come frazioni, quali ad esempio:

mwxg 2 , π π , e , … … {\displaystyle {\sqrt {2}},\pi ,e,\ldots \,\!}

Aggiungendo a questi un elemento mwya i {\displaystyle i} , chiamato mwyqunità immaginaria, tale che mwyg i 2 = − − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} , si ottengono i mwywnumeri complessi:

mwzg 2 − − i , 2 + 3 i , π π i , … … {\displaystyle 2-i,{\sqrt {2}}+3i,\pi i,\ldots }

Gli insiemi formati dai numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi sono indicati con le lettere:

mwag N ⊂ ⊂ Z ⊂ ⊂ Q ⊂ ⊂ R ⊂ ⊂ C . {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}

Ciascun insieme è contenuto nel successivo, come indicato dal simbolo mwba ⊂ ⊂ {\displaystyle \subset } di mwbqinclusione insiemistica. Ad esempio, il numero mwbg − − 3 {\displaystyle -3} non è un numero naturale, ma è un numero intero: quindi è anche razionale, reale e complesso.

Con le operazioni aritmetiche di mwcgaddizione, mwcwsottrazione, mwdamoltiplicazione e mwdqdivisione è possibile manipolare i numeri e scrivere espressioni del tipo

mwea 1 + 3 2 ; 3 × × 8 ; 8 − − 2 2 ; 3 i ( 5 i ) . {\displaystyle 1+{\frac {3}{2}}\,;\quad 3\times {\sqrt {8}}\,;\quad 8-2^{2}\,;\quad 3i(5i).\,\!}

Lo stesso numero può essere scritto in modo diverso, ad esempio:

mwfa 1 = 3 − − 2 = 5 0 = 7 7 = − − i 2 . {\displaystyle 1=3-2=5^{0}={\frac {7}{7}}=-i^{2}.}

L'mwgaalgebra elementare è un'evoluzione dell'mwgqaritmetica: oltre ai numeri e alle quattro operazioni, in algebra si fa uso di simboli letterali che (a seconda del contesto) possono essere considerati numeri mwggcostanti o mwgwvariabili. Ad esempio:

mwhg 1 + c ; x 2 − − 1 ; ( a + b ) 2 . {\displaystyle 1+c\,;\quad x^{2}-1\,;\quad (a+b)^{2}.}

Usando simboli letterali è possibile enunciare dei mwiateoremi che sono validi in contesti molto generali. Ad esempio, il mwiqquadrato del binomio

mwja ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}

è un'uguaglianza valida per qualsiasi valore di mwjg a {\displaystyle a} e mwjw b {\displaystyle b} .

Un'mwkwequazione è un'uguaglianza che può contenere alcune variabili, dette mwlaincognite. L'equazione è verificata solo per alcuni valori delle incognite, detti mwlqsoluzioni. Determinare le soluzioni di un'equazione è un problema centrale in algebra. Ad esempio, nell'mwlgequazione di primo grado

mwmq 2 x + a = 1 {\displaystyle 2x+a=1}

la lettera mwmw a {\displaystyle a} è una costante, mentre mwna x {\displaystyle x} è l'incognita da determinare. Questa equazione ha una sola soluzione; data da

mwnw x = 1 − − a 2 . {\displaystyle x={\frac {1-a}{2}}.}

Un mwowpolinomio è un'espressione algebrica ottenuta manipolando alcune costanti e variabili con le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione (ma mwpanon la divisione). Ad esempio:

mwpw p ( x ) = 3 x 2 + x − − c {\displaystyle p(x)=3x^{2}+x-c}

è un polinomio con variabile mwqq x {\displaystyle x} . Un polinomio può avere più di una variabile, ad esempio

mwra q ( x , y , z ) = x y z − − 3 {\displaystyle q(x,y,z)=xyz-3}

ha tre variabili mwrg x , y , z {\displaystyle x,y,z} .

Una mwsaradice di un polinomio con una sola variabile mwsq x {\displaystyle x} è un valore numerico mwsg x 0 {\displaystyle x_{0}} per cui vale

mwtq p ( x 0 ) = 0. {\displaystyle p(x_{0})=0.}

Determinare le radici di un polinomio equivale quindi a risolvere un'equazione, in cui il polinomio viene posto uguale a zero. Esistono delle formule generali per determinare le radici di un polinomio di mwtwgrado 1, 2, 3 o 4. Ad esempio, un mwuapolinomio di secondo grado

mwuw a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}

può avere al massimo due radici reali, determinate dalla formula

mwvw x = − − b ± ± b 2 − − 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Se l'argomento del radicale mwwq b 2 − − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} è negativo, il polinomio non ha radici reali. Per il mwwgteorema di Abel-Ruffini, non esistono formule risolutive generali per equazioni di grado maggiore o uguale a 5.

Un polinomio può non avere radici reali. Il mwxateorema fondamentale dell'algebra asserisce però che ne esiste sempre (almeno) una radice mwxqcomplessa.

Un numero reale (o complesso) è mwyqalgebrico se è radice di un polinomio a coefficienti interi. Ad esempio, ogni numero razionale mwyg p / q {\displaystyle p/q} è algebrico, perché radice del polinomio

mwzq q x − − p . {\displaystyle qx-p.}

che ha coefficienti mwzw p {\displaystyle p} e mw0a q {\displaystyle q} interi. La mw0qradice mw0g n {\displaystyle n} -esima reale mw0w k n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{k}}} di un intero mw1a k > 0 {\displaystyle k>0} è anch'esso un numero algebrico, radice del polinomio

mw1w x n − − k . {\displaystyle x^{n}-k.}

Più in generale, tutti i numeri ottenibili a partire dagli interi usando le quattro operazioni ed i radicali sono algebrici. Ad esempio:

mw2w 2 − − 3 4 + 1 5 3 − − 7 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}+1}{\sqrt[{3}]{5}}}-7}

è un numero algebrico. Esistono però algebrici non scrivibili in questa forma, per il mw3qteorema di Abel-Ruffini. Fra i numeri complessi, l'unità immaginaria mw3g i {\displaystyle i} è algebrica perché radice del polinomio mw3w x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} .

Un numero reale (o complesso) è mw4qtrascendente se non è algebrico. I numeri mw4gpi greco mw4w π π {\displaystyle \pi } e la mw5acostante di Nepero mw5q e {\displaystyle e} sono trascendenti.

Una mw6qstruttura algebrica è un insieme dotato di una o più operazioni che soddisfano determinati mw6gassiomi. Sulla base di questi assiomi è quindi possibile dimostrare vari mw6wteoremi che risultano validi in contesti molto generali. Le strutture algebriche hanno un ruolo centrale nell'mw7aalgebra astratta e in tutta la matematica moderna.

Un mw8agruppo è un insieme mw8q G {\displaystyle G} dotato di un'mw8goperazione binaria, che può essere indicata con il simbolo mw8w ∗ ∗ {\displaystyle *} , che soddisfa gli assiomi seguenti.

1. mw9wmw-aproprietà associativa: dati mw-q a , b , c {\displaystyle a,b,c} appartenenti a mw-g G {\displaystyle G} , vale mw-w ( a ∗ ∗ b ) ∗ ∗ c = a ∗ ∗ ( b ∗ ∗ c ) {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)} .

2. mw-qesistenza dell'mw-gelemento neutro: esiste in mw-w G {\displaystyle G} un elemento mwaqaneutro mwaqe e {\displaystyle e} rispetto all'operazione *, cioè tale che mwaqi a ∗ ∗ e = e ∗ ∗ a = a {\displaystyle a*e=e*a=a} per ogni mwaqm a {\displaystyle a} appartenente a mwaqq G {\displaystyle G} .

3. mwaqyesistenza dell'mwaqcinverso: ad ogni elemento mwaqg a {\displaystyle a} di mwaqk G {\displaystyle G} è associato un elemento mwaqo b {\displaystyle b} , detto mwaqsinverso di mwaqw a {\displaystyle a} , tale che mwaq0 a ∗ ∗ b = b ∗ ∗ a = e {\displaystyle a*b=b*a=e} .

Ad esempio, i mwaq8numeri interi formano un gruppo con l'operazione mwara + {\displaystyle +} di mwareaddizione. L'insieme mwari G {\displaystyle G} e l'operazione mwarm ∗ ∗ {\displaystyle *} sono entrambi importanti nella struttura di gruppo: per identificare il gruppo degli interi con l'addizione si scrive la coppia

mwary ( Z , + ) . {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+).}

Un mwaroanello è un insieme mwars A {\displaystyle A} dotato di due operazioni binarie, generalmente indicate con gli usuali simboli mwarw + {\displaystyle +} e mwar0 × × {\displaystyle \times } dell'addizione e della moltiplicazione, che soddisfa alcuni assiomi. L'operazione mwar4 + {\displaystyle +} deve soddisfare gli assiomi di gruppo già elencati; inoltre devono valere

1. mwasimwasmproprietà commutativa: dati mwasq a , b {\displaystyle a,b} appartenenti ad mwasu A {\displaystyle A} , vale mwasy a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} .

2. mwasgmwaskproprietà associativa per l'operazione mwaso × × {\displaystyle \times } : dati mwass a , b , c {\displaystyle a,b,c} appartenenti ad mwasw A {\displaystyle A} , vale mwas0 ( a × × b ) × × c = a × × ( b × × c ) {\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)} .

3. mwas8mwataproprietà distributiva: dati mwate a , b , c {\displaystyle a,b,c} appartenenti ad mwati A {\displaystyle A} , vale mwatm ( a + b ) × × c = a × × c + b × × c {\displaystyle (a+b)\times c=a\times c+b\times c} e mwatq a × × ( b + c ) = a × × b + a × × c {\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c} .

Ad esempio, i mwatynumeri interi formano un anello con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione, e si scrive:

mwatk ( Z , + , × × ) . {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\times ).}

L'elemento neutro per l'operazione mwats + {\displaystyle +} viene solitamente indicato con il simbolo mwatw 0 {\displaystyle 0} .

Un mwat4campo è un anello che soddisfa alcuni assiomi aggiuntivi per l'operazione mwat8 × × {\displaystyle \times } , e cioè:

1. mwaummwauqproprietà commutativa: dati mwauu a , b {\displaystyle a,b} appartenenti ad mwauy A {\displaystyle A} , vale mwauc a × × b = b × × a {\displaystyle a\times b=b\times a} .

2. mwaukesistenza dell'mwauoelemento neutro: esiste in mwaus A {\displaystyle A} un elemento mwauwneutro mwau0 1 {\displaystyle 1} rispetto all'operazione mwau4 × × {\displaystyle \times } , cioè tale che mwau8 a × × 1 = 1 × × a = a {\displaystyle a\times 1=1\times a=a} per ogni mwava a {\displaystyle a} appartenente a mwave A {\displaystyle A} .

3. mwavmesistenza dell'mwavqinverso: ad ogni elemento mwavu a ≠ ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} di mwavy A {\displaystyle A} è associato un elemento mwavc b {\displaystyle b} , detto mwavginverso di mwavk a {\displaystyle a} , tale che mwavo a × × b = b × × a = 1 {\displaystyle a\times b=b\times a=1} .

I numeri interi mwavwnon formano un campo perché 2 non ha un inverso rispetto al prodotto. I mwav0numeri razionali formano un campo e si scrive:

mwawa ( Q , + , × × ) . {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\times ).}

Altri campi importanti sono i mwawinumeri reali mwawm R {\displaystyle \mathbb {R} } ed i mwawqnumeri complessi mwawu C {\displaystyle \mathbb {C} } .

Uno mwawkspazio vettoriale è una struttura algebrica lievemente più complessa. Formalmente, consiste di una quaterna

mwaww ( V , K , + , × × ) {\displaystyle (V,K,+,\times )}

in cui mwaw4 V {\displaystyle V} è un insieme di oggetti detti mwaw8vettori, mwaxa K {\displaystyle K} un campo, e mwaxe + , × × {\displaystyle +,\times } due operazioni binarie che soddisfano una lunga lista di assiomi. Come i vettori del mwaxipiano cartesiano, i vettori di mwaxm V {\displaystyle V} possono essere sommati e riscalati, cioè moltiplicati per un elemento del campo mwaxq K {\displaystyle K} detto mwaxuscalare. La nozione di spazio vettoriale è centrale in tutta la matematica moderna.

L'algebra elementare può essere introdotta come generalizzazione ed estensione dell'mwaxoaritmetica, tramite l'introduzione di oggetti simbolici, chiamati mwaxsvariabili e mwaxwcostanti, denotati solitamente con lettere dell'alfabeto.

Alle espressioni costruite con l'uso delle variabili e delle costanti, si applicano le operazioni aritmetiche di mwax4addizione, mwax8differenza (più generalmente, mwayasomma algebrica), mwayemoltiplicazione e mwayidivisione. In questo modo vengono introdotti e studiati oggetti come i mwaympolinomi e le mwayqequazioni, e studiati i metodi per trovarne le eventuali mwayuradici dei primi e soluzioni delle seconde.

L'mwaykalgebra astratta è un'estensione dell'algebra elementare, nata verso la fine del mwayoXIX secolo e sviluppatasi enormemente nel mwaysXX secolo. L'algebra astratta definisce e studia le mwaywstrutture algebriche: insiemi muniti di operazioni che soddisfano determinati mway0assiomi. Esempi molto particolari di strutture algebriche sono costituiti dagli usuali insiemi numerici, quali i mway4numeri interi, i mway8razionali, i mwazareali e i mwazecomplessi con le loro ordinarie operazioni di somma o prodotto, o anche con una sola di queste operazioni.

Esempi di strutture algebriche sono i mwazmgruppi, gli mwazqanelli, i mwazucampi e gli mwazyspazi vettoriali. Le operazioni di cui sono dotate queste strutture soddisfano leggi molto simili a quelle valide negli esempi numerici menzionati sopra. Esempi di strutture le cui operazioni soddisfano altre leggi, a volte apparentemente controintuitive, sono i mwazcreticoli, l'mwazgalgebra di Boole e le mwazkalgebre di Lie.

L'mwaz0algebra lineare studia le mwaz4matrici e gli mwaz8spazi vettoriali. Uno spazio vettoriale è una generalizzazione astratta della nozione dell'insieme dei mwaaavettori del piano (o dello spazio) in senso fisico. Uno dei suoi principali vantaggi è la possibilità di introdurre spazi di qualunque dimensione (anche infinita). Viene applicata anche per studiare le mwaaeequazioni lineari, cioè le equazioni omogenee di primo grado. Le applicazioni dell'algebra lineare sono di importanza fondamentale in fisica, in molte branche (anche non algebriche) della matematica e in altre discipline scientifiche.

Un mwaaugruppo è una struttura algebrica dotata di una singola mwaayoperazione binaria che soddisfa alcune ben determinate proprietà (gli assiomi di gruppo). Esempi di gruppi sono i mwaacnumeri interi, con l'operazione di somma, oppure l'insieme delle mwaagsimmetrie di un particolare oggetto geometrico (con l'operazione di mwaakcomposizione di funzioni). È da notare che, mentre nel primo caso vale la proprietà commutativa mwaao a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} (il gruppo si dice mwaasabeliano), la proprietà analoga non vale, in generale, nel secondo caso, perché non è necessariamente vero che mwaaw f ∘ ∘ g = g ∘ ∘ f {\displaystyle f\circ g=g\circ f} .

La mwaa4teoria dei gruppi studia le strutture di gruppo. Oltre ad avere un profondo interesse intrinseco, la teoria dei gruppi ha importanti applicazioni in quasi tutti i settori della mwaa8geometria, e in particolare alla mwabatopologia, e allo studio delle mwabesimmetrie. Ha anche una forte correlazione con la mwabicombinatoria: l'insieme delle mwabmpermutazioni di un insieme è ad esempio un gruppo rispetto alla composizione di funzioni. Ha anche notevoli applicazioni in teoria dei numeri, e talvolta in analisi.

Un mwabcanello è una struttura algebrica con due operazioni, la prima delle quali soddisfa agli assiomi di un mwabggruppo commutativo. Considerando anche la seconda operazione, si richiede che vengano soddisfatte molte delle proprietà valide per i numeri interi, con le operazioni di somma e prodotto. Ma, ad esempio, in un anello generico può capitare che mwabk a b = 0 {\displaystyle ab=0} , senza che necessariamente uno degli elementi mwabo a {\displaystyle a} o mwabs b {\displaystyle b} sia uguale a mwabw 0 {\displaystyle 0} (questa proprietà è invece verificata negli interi). Tra gli insiemi che risultano essere degli anelli, troviamo l'insieme dei mwab0polinomi a coefficienti in un dato anello, quello delle mwab4matrici (con opportune operazioni di somma e prodotto), e l'insieme dei mwab8numeri razionali.

La mwaceteoria degli anelli studia queste strutture, e ha applicazioni in algebra e in molte altre branche della matematica, in particolare in mwacigeometria algebrica.

Un mwacycampo è un anello che deve soddisfare degli assiomi ulteriori, che, intuitivamente, asseriscono la possibilità di effettuare le divisioni (ovviamente solo per un elemento non nullo). Ad esempio gli mwaccinteri non sono un campo, mentre i mwacgrazionali sì.

La mwacoteoria dei campi studia queste strutture. I campi sono l'oggetto base necessario per la definizione degli mwacsspazi vettoriali e quindi per tutta l'mwacwalgebra lineare. La mwac0teoria di Galois è una teoria che mette in relazione i campi, e le loro possibili estensioni, coi gruppi finiti, e i loro possibili sottogruppi. La teoria di Galois fornisce metodi estremamente potenti per lo studio della risolubilità delle equazioni; in particolare, è fondamentale per dimostrare che non esiste una formula generale (che faccia uso solo di radicali) per la risoluzione delle equazioni di 5º grado o superiore.

L'mwadealgebra computazionale studia gli algoritmi per la manipolazione simbolica di oggetti matematici.

Oltre alle strutture già descritte, l'algebra ne studia molte altre, tra cui mwadqsemigruppi, mwadureticoli, mwadymoduli, mwadcalgebre su campo, mwadgbialgebre, algebre di Hopf, mwadosuperalgebre.

• L'mwad0algebra commutativa studia gli mwad4anelli commutativi e le loro applicazioni in mwad8geometria algebrica.

• L'algebra non commutativa, per contro, si occupa degli anelli non commutativi.

• L'mwaemalgebra omologica e l'algebra omotopica studiano i concetti di mwaeuomologia e mwaeyomotopia astrattamente e in rapporto al loro utilizzo in mwaectopologia algebrica e in mwaeggeometria algebrica.

• La mwaeoteoria delle rappresentazioni studia le realizzazioni mediante matrici di varie strutture algebriche, in particolare dei mwaesgruppi finiti, dei mwaewgruppi di Lie e delle mwae0algebre di Lie.

• L'mwae8algebra universale studia le proprietà comuni a tutte le strutture algebriche sopra accennate o almeno a estese collezioni di strutture algebriche caratterizzate da proprietà dei rispettivi sistemi di assiomi; questo settore dell'algebra ha molti punti in comune con la mwafateoria delle categorie.

• L'algebra applicata si occupa delle applicazioni dell'algebra, come quelle riguardanti la mwafmcrittografia.

La parola ''algebra'' viene anche usata come semplificazione dei termini qui usati come sinonimi [[algebra su campo]] e [[algebra su campo]]; inoltre

Il termine "algebra" viene usato per indicare varie specie di strutture algebriche composite:

• Algebra di Boole

• Algebra di Kleene

• Sigma-algebra

• Algebra di incidenza

• Algebra di Lie

• Algebra di Clifford

• Algebra di Jordan

• Algebra di Cayley-Dickson

• Algebra di Poisson

• Algebra di Virasoro

• Algebra di gruppo

• Algebra di divisione

• Algebra alternativa

• Algebra quadratica

• Algebra di Hopf

• Algebra di Banach

• Algebra su campo

• *-algebra

• C*-algebra

• Algebra differenziale

• Algebra di insiemi

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cite-note-22. ↑ mwagiMarie-Anne Matard-Bonucci, mwagmmwagqSimon Levis Sullam, I carnefici italiani. Scene dal genocidio degli ebrei, 1943-1945, Milan, Feltrinelli, 2015, 147 p., ISBN 978-88-07-11133-4, in mwaguRevue d’histoire moderne mwagy& contemporaine, n° 62-2/3, n.mwagc 2, 2 ottobre 2015, pp.mwagg 293–295, mwagkDOI:mwago10.3917/rhmc.622.0293. mwagsURL consultato il 5 aprile 2025.

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• mwaig(EN) mwaikSerge Lang, mwaioAlgebra, Springer, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4

• mwai8Gruppo fondamentale

• mwajeSpazio vettoriale topologico

• mwajmSpazio di Hilbert

• mwajuSpazio di Banach

• mwajcGeometria affine

• mwajkGeometria proiettiva

• mwajsGeometria algebrica

• mwaj0Topologia algebrica

• mwaj8Diofanto di Alessandria

• mwakeMuḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī

• mwakmAlgebra simmetrica

• mwakuPapiro di Rhind

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